Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)
CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Cho các số thực \(a,b,c>0\)thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)
\(cmr\): \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. CMR: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Em thử nha, có gì sai bỏ qua ạ.
Đề cho gọn,Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=0\)
Và \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
Ta có: \(VT=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}=0\) (1)
Mặt khác,ta có \(VT=\left|x+y+z\right|=0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dòng cuối phải là
VP=|x+y+z|=0
đúng không????
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn a+b+c=0.CMR:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Xét : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{2}{abc}.\left(a+b+c\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(Vì a + b + c = 0)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\) (đpcm)
cho a, b,c là số thực khác 0 thỏa mãn a+b+c=0 . CMR :
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)
a) Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1
và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
b) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
cmr \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
CMR : \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 3
Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
CMR: \(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{abc}\)
Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)
\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)
\(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{\left(bc\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{\left(bc\right)^2}+1\ge2\frac{1}{bc}=2a\)
Bạn Hoàng sai rồi nhé:
cho \(a=\frac{3}{2};b=2;c=\frac{1}{3}\) (t/m đk abc=1)
Suy ra \(a+b+c=\frac{3}{2}+2+\frac{1}{3}=3,8\left(3\right)>3\) nhé
Vì abc = 1 nên ta viết bất đẳng đẳng lại thành:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó ta cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)với abc = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a - 1; b - 1; c - 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a - 1 và b - 1 thì \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\Leftrightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2+3abc\ge a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\)nên phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được rằng \(a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+c\left(a+b+c-3\right)\ge0\)(Luôn đúng vì theo AM - GM cho 3 số dương thì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1